Задание №16 — Алгоритмы и программирование

Решение.

Для решения этой задачи нам необходимо проанализировать каждое число из последовательности и проверить, удовлетворяет ли оно двум условиям одновременно:
1. Запись числа в восьмеричной системе счисления является трёхзначной.
2. Запись числа в восьмеричной системе счисления оканчивается на цифру $2$.

Разберём эти условия подробнее:

Шаг 1. Условие трёхзначности в восьмеричной системе.
Минимальное трёхзначное число в восьмеричной системе — это $100_{8}$. Переведём его в десятичную систему:
$1 \cdot 8^{2} + 0 \cdot 8^{1} + 0 \cdot 8^{0} = 64$.
Максимальное трёхзначное число в восьмеричной системе — это $777_{8}$. Переведём его в десятичную систему:
$7 \cdot 8^{2} + 7 \cdot 8^{1} + 7 \cdot 8^{0} = 448 + 56 + 7 = 511$.
Таким образом, число $x$ является трёхзначным в восьмеричной системе, если оно находится в диапазоне: $64 \le x \le 511$.

Шаг 2. Условие окончания на цифру 2 в восьмеричной системе.
Последняя цифра числа в любой системе счисления с основанием $q$ — это остаток от деления этого числа на $q$.
Следовательно, чтобы число в восьмеричной системе оканчивалось на $2$, остаток от его деления на $8$ должен быть равен $2$.
Математически: $x \pmod 8 = 2$.

Шаг 3. Проверка примера.
Рассмотрим числа из примера:
1) $34$: $34 < 64$ (не трёхзначное в $8$-ой системе).
2) $162$: $64 \le 162 \le 511$ (да) и $162 \pmod 8 = 2$ (да, так как $162 = 20 \cdot 8 + 2$). Подходит.
3) $474$: $64 \le 474 \le 511$ (да) и $474 \pmod 8 = 2$ (да, так как $474 = 59 \cdot 8 + 2$). Подходит.
4) $506$: $64 \le 506 \le 511$ (да) и $506 \pmod 8 = 2$ (да, так как $506 = 63 \cdot 8 + 2$). Подходит.
5) $578$: $578 > 511$ (не трёхзначное в $8$-ой системе).
Итого: $3$ числа.

Шаг 4. Алгоритм программы.
1. Считываем количество чисел $N$.
2. Заводим счётчик $count = 0$.
3. В цикле от $1$ до $N$ считываем очередное число $x$.
4. Если $(x \ge 64)$ И $(x \le 511)$ И $(x \pmod 8 = 2)$, то увеличиваем $count$ на $1$.
5. Выводим $count$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ