Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $25x^2 > 49$, выполним следующие шаги:

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы справа остался ноль:
$25x^2 - 49 > 0$

2. Заметим, что в левой части находится разность квадратов. Вспомним формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Так как $25x^2 = (5x)^2$ и $49 = 7^2$, разложим выражение на множители:
$(5x - 7)(5x + 7) > 0$

3. Найдём корни уравнения $(5x - 7)(5x + 7) = 0$, чтобы определить границы промежутков:
$5x - 7 = 0 \Rightarrow 5x = 7 \Rightarrow x = 1,4$
$5x + 7 = 0 \Rightarrow 5x = -7 \Rightarrow x = -1,4$

4. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1,4)$, $(-1,4; 1,4)$ и $(1,4; +\infty)$.
Поскольку перед $x^2$ стоит положительный коэффициент ($25$), графиком функции $y = 25x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, функция принимает положительные значения ($> 0$) на крайних промежутках.

5. Таким образом, решением неравенства являются промежутки:
$x < -1,4$ или $x > 1,4$

Данное решение соответствует варианту под номером 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ