Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения квадратного неравенства $x^{2} - 36 > 0$ воспользуемся методом интервалов.

Шаг 1. Найдём корни соответствующего уравнения.
Приравняем левую часть неравенства к нулю: $x^{2} - 36 = 0$.
Перенесём число $36$ в правую часть: $x^{2} = 36$.
Отсюда получаем два корня: $x_{1} = 6$ и $x_{2} = -6$.

Шаг 2. Разложим левую часть на множители.
Используя формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$, запишем неравенство в виде:
$(x - 6)(x + 6) > 0$.

Шаг 3. Определим знаки на числовой прямой.
Отметим точки $-6$ и $6$ на числовой оси. Точки будут "выколотыми" (пустыми), так как знак неравенства строгий ($>$). Эти точки разбивают прямую на три интервала:
1) От $-\infty$ до $-6$: возьмём число $-10$. Подставим: $(-10)^{2} - 36 = 100 - 36 = 64 > 0$. Знак "+".
2) От $-6$ до $6$: возьмём число $0$. Подставим: $0^{2} - 36 = -36 < 0$. Знак "-".
3) От $6$ до $+\infty$: возьмём число $10$. Подставим: $10^{2} - 36 = 100 - 36 = 64 > 0$. Знак "+".

Шаг 4. Выберем нужные промежутки.
Так как в неравенстве стоит знак $>$ (больше нуля), нам подходят интервалы со знаком "+".
Это промежутки $\left( -\infty ; -6 \right)$ и $\left( 6 ; +\infty \right)$.

Данное решение соответствует варианту № 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ