Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения неравенства $6x - x^{2} > 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём корни соответствующего уравнения:
Приравняем левую часть неравенства к нулю:
$6x - x^{2} = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(6 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $6 - x = 0$.
Отсюда получаем два корня: $x_{1} = 0$ и $x_{2} = 6$.

2. Определим знаки на интервалах:
Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут "выколотыми" (пустыми внутри). Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 6)$ и $(6; +\infty)$.
Рассмотрим функцию $f(x) = 6x - x^{2}$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^{2}$ отрицательный: $-1$).
Это значит, что между корнями функция принимает положительные значения, а снаружи от корней — отрицательные.

Проверим это, подставив число из интервала $(0; 6)$, например, $x = 1$:
$6 \cdot 1 - 1^{2} = 6 - 1 = 5$.
Так как $5 > 0$, то на интервале $(0; 6)$ выражение положительно.

3. Выберем нужный промежуток:
Нам нужно найти значения $x$, при которых $6x - x^{2} > 0$. Этому условию соответствует интервал от $0$ до $6$.

На предложенных рисунках:
1) Изображён луч $x > 0$.
2) Изображены два луча $x < 0$ и $x > 6$.
3) Изображён интервал между $0$ и $6$.
4) Изображён луч $x > 6$.

Следовательно, правильным является рисунок под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ