Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

1) Проанализируем рисунок. На координатной прямой изображён интервал между числами $0$ и $6$. Точки выколоты, значит, неравенство строгое. Заштрихованная область соответствует промежутку $(0; 6)$. Это означает, что корнями соответствующего квадратного уравнения должны быть числа $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

2) Проверим, какие из предложенных неравенств имеют корни $0$ и $6$:
— В вариантах 1 и 4 левая часть $x^2 - 36$. Приравняем к нулю: $x^2 - 36 = 0 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$. Эти варианты нам не подходят.
— В вариантах 2 и 3 левая часть $x^2 - 6x$. Приравняем к нулю: $x^2 - 6x = 0$. Вынесем общий множитель за скобки: $x(x - 6) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 6$. Эти корни совпадают с числами на рисунке.

3) Теперь определим знак неравенства для функции $f(x) = x^2 - 6x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^2$ положителен, $1 > 0$).
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $6$. Схематично представим её положение:
— На промежутках $(-\infty; 0)$ и $(6; +\infty)$ парабола находится выше оси $Ox$ (значения функции положительны).
— На промежутке $(0; 6)$ парабола находится ниже оси $Ox$ (значения функции отрицательны).

4) На рисунке заштрихован именно внутренний промежуток $(0; 6)$, где функция принимает отрицательные значения. Следовательно, искомое неравенство имеет вид:
$x^2 - 6x < 0$.

Это соответствует варианту № 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ