Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения квадратного неравенства $x^{2} - 25 < 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения: $x^{2} - 25 = 0$.
Перенесём число $25$ в правую часть: $x^{2} = 25$.
Отсюда получаем два корня: $x_{1} = 5$ и $x_{2} = -5$.

2. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; +\infty)$.
Так как неравенство строгое (знак $<$), сами точки $-5$ и $5$ не входят в решение (на графике они будут "выколотыми").

3. Определим знак выражения $x^{2} - 25$ на каждом интервале:
— На интервале $(5; +\infty)$: возьмём $x = 6$, тогда $6^{2} - 25 = 36 - 25 = 11 > 0$.
— На интервале $(-5; 5)$: возьмём $x = 0$, тогда $0^{2} - 25 = -25 < 0$.
— На интервале $(-\infty; -5)$: возьмём $x = -6$, тогда $(-6)^{2} - 25 = 36 - 25 = 11 > 0$.

4. Нам нужно найти те значения $x$, при которых выражение меньше нуля ($< 0$). Этому условию соответствует средний интервал: $(-5; 5)$.

Данный интервал соответствует варианту ответа № 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ