Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $25x^2 > 49$, выполним следующие шаги:

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы справа остался ноль:
$25x^2 - 49 > 0$.

2. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Заметим, что $25x^2 = (5x)^2$, а $49 = 7^2$.
Получаем: $(5x - 7)(5x + 7) > 0$.

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(5x - 7)(5x + 7) = 0$:
$5x - 7 = 0 \Rightarrow 5x = 7 \Rightarrow x = 1,4$;
$5x + 7 = 0 \Rightarrow 5x = -7 \Rightarrow x = -1,4$.

4. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1,4)$, $(-1,4; 1,4)$ и $(1,4; +\infty)$.
Так как графиком функции $y = 25x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), то значения функции будут положительными на крайних промежутках и отрицательными на среднем.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше нуля ($> 0$). Это соответствует интервалам:
$x < -1,4$ и $x > 1,4$.

Данное решение соответствует варианту № 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ