Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) «Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей».
Это утверждение неверно. Формула площади параллелограмма через диагонали выглядит так: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между диагоналями. Половина произведения диагоналей равна площади только в том случае, если диагонали перпендикулярны (например, у ромба или квадрата). Для произвольного параллелограмма это правило не работает.

2) «Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам».
Это утверждение неверно. Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех внутренних углов любого треугольника (в том числе и прямоугольного) всегда равна $180^{\circ}$. У прямоугольного треугольника только сумма двух острых углов равна $90^{\circ}$.

3) «Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности».
Это утверждение верно. Согласно свойствам замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис (инцентр) всегда равноудалена от всех сторон треугольника. Именно поэтому она является центром вписанной окружности.

Таким образом, истинным является утверждение под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ