Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы найти решение неравенства $x^{2} < 9$, выполним следующие шаги:

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы справа остался ноль:
$x^{2} - 9 < 0$.

2. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 3)(x + 3) < 0$.

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$;
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

4. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как знак неравенства строгий ($<$), точки будут «выколотыми» (пустыми внутри). Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.

5. Определим знаки выражения $x^{2} - 9$ на каждом интервале (метод интервалов):
— На интервале $(3; +\infty)$ возьмём $x = 4$: $4^{2} - 9 = 16 - 9 = 7 > 0$. Знак «плюс».
— На интервале $(-3; 3)$ возьмём $x = 0$: $0^{2} - 9 = -9 < 0$. Знак «минус».
— На интервале $(-\infty; -3)$ возьмём $x = -4$: $(-4)^{2} - 9 = 16 - 9 = 7 > 0$. Знак «плюс».

6. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля ($<$). Это соответствует интервалу $(-3; 3)$, который на рисунке изображается штриховкой между точками $-3$ и $3$.

Данное решение изображено на рисунке под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ