Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) Если три угла одного треугольника равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Это утверждение верно. Согласно первому признаку подобия треугольников, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Так как сумма углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$, равенство трёх углов автоматически следует из равенства двух. Таким образом, треугольники имеют одинаковую форму, но могут иметь разные размеры, что и является определением подобия.

2) Диагонали ромба равны.
Это утверждение неверно. Свойство равенства диагоналей характерно для прямоугольника и квадрата. У произвольного ромба диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов, но они равны между собой только в том случае, если этот ромб является квадратом.

3) Тангенс любого острого угла меньше единицы.
Это утверждение неверно. Тангенс острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если противолежащий катет больше прилежащего, то тангенс будет больше единицы. Например, $\text{tg } 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1{,}73$, что явно больше $1$. Тангенс равен $1$ при угле $45^\circ$.

Следовательно, истинным является только первое утверждение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ