Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения неравенства $81 x^{2} \leq 16$ воспользуемся методом интервалов или разложением на множители.

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:
$81 x^{2} - 16 \leq 0$.

2. Заметим, что в левой части находится разность квадратов, так как $81 x^{2} = (9x)^{2}$ и $16 = 4^{2}$. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(9x - 4)(9x + 4) \leq 0$.

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(9x - 4)(9x + 4) = 0$:
$9x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{9}$;
$9x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{9}$.

4. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), точки будут закрашенными. Определим знак выражения $(9x - 4)(9x + 4)$ на каждом интервале:
— При $x > \frac{4}{9}$ выражение положительно ($+$);
— При $-\frac{4}{9} < x < \frac{4}{9}$ выражение отрицательно ($-$);
— При $x < -\frac{4}{9}$ выражение положительно ($+$).

5. Нам нужно найти те значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это соответствует среднему промежутку: $x \in [-\frac{4}{9}; \frac{4}{9}]$.

6. На рисунках этот промежуток изображён в виде заштрихованного отрезка между точками $-\frac{4}{9}$ и $\frac{4}{9}$. Данное изображение соответствует варианту № 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ