Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

1) Проанализируем рисунок. На координатной прямой изображён интервал между числами $0$ и $8$. Точки выколотые, значит, неравенство строгое. Заштрихованная область соответствует значениям $x$, для которых выполняется условие $0 < x < 8$.

2) Найдём корни соответствующих квадратных уравнений для каждого из предложенных вариантов, чтобы понять, какие границы интервалов они дают.

Для вариантов 1 и 3 рассмотрим уравнение $x^{2} - 8x = 0$:
Вынесем общий множитель за скобки: $x(x - 8) = 0$.
Отсюда корни: $x_{1} = 0$ и $x_{2} = 8$.
Эти корни совпадают с числами на рисунке.

Для вариантов 2 и 4 рассмотрим уравнение $x^{2} - 64 = 0$:
$x^{2} = 64$, значит $x_{1} = -8$ и $x_{2} = 8$.
Эти корни не соответствуют рисунку (на рисунке левая граница — это $0$, а не $-8$). Следовательно, варианты 2 и 4 нам не подходят.

3) Теперь определим знак неравенства для функции $f(x) = x^{2} - 8x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ положителен).
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $8$. Значения функции отрицательны ($f(x) < 0$) там, где парабола находится ниже оси $Ox$ — это как раз интервал между корнями: $(0; 8)$.
Значения функции положительны ($f(x) > 0$) на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(8; +\infty)$.

4) На рисунке заштрихован именно внутренний интервал $(0; 8)$, что соответствует условию $x^{2} - 8x < 0$.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ