Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) «Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам».
Это утверждение неверно. Свойство «диагонали делятся точкой пересечения пополам» характерно для параллелограммов (включая прямоугольники, ромбы и квадраты). В трапеции же точка пересечения делит диагонали на отрезки, пропорциональные основаниям, но не пополам.

2) «Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей».
Это утверждение неверно. Формула площади через диагонали выглядит так: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между диагоналями. Половина произведения диагоналей равна площади параллелограмма только в том случае, если его диагонали перпендикулярны (то есть для ромба или квадрата). В общем случае это не так.

3) «Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой».
Это утверждение верно. Согласно теореме о вписанном угле, его величина равна половине дуги, на которую он опирается. Диаметр делит окружность на две дуги по $180^\circ$. Следовательно, вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $180^\circ : 2 = 90^\circ$, то есть является прямым.

Таким образом, истинным является только третье утверждение.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ