Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Проанализируем рисунок. На координатной прямой изображено решение неравенства в виде двух промежутков: $(-\infty; 0)$ и $(7; +\infty)$. Точки $0$ и $7$ отмечены выколотыми (пустыми внутри), что соответствует строгому знаку неравенства ($>$ или $<$).

Найдём корни соответствующих квадратных уравнений для каждого из предложенных вариантов, чтобы определить, какие из них дают точки $0$ и $7$.

1) Рассмотрим варианты 2 и 4: $x^{2} - 49$.
Приравняем выражение к нулю: $x^{2} - 49 = 0$.
Отсюда $x^{2} = 49$, значит, корни $x = 7$ и $x = -7$.
Эти корни не совпадают с числами на рисунке ($0$ и $7$), поэтому варианты 2 и 4 нам не подходят.

2) Рассмотрим варианты 1 и 3: $x^{2} - 7x$.
Приравняем выражение к нулю: $x^{2} - 7x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки: $x(x - 7) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Эти числа в точности соответствуют точкам на рисунке. Теперь определим знак неравенства.

3) Применим метод интервалов для функции $f(x) = x^{2} - 7x$:
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен).
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $7$.
- На промежутках $(-\infty; 0)$ и $(7; +\infty)$ график лежит выше оси $Ox$, то есть $x^{2} - 7x > 0$.
- На промежутке $(0; 7)$ график лежит ниже оси $Ox$, то есть $x^{2} - 7x < 0$.

На рисунке заштрихованы внешние промежутки (края), что соответствует условию $x^{2} - 7x > 0$. Это вариант под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ