Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения квадратного неравенства $x^{2} - 49 > 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения:
$x^{2} - 49 = 0$.
Перенесём число $49$ в правую часть:
$x^{2} = 49$.
Отсюда получаем два корня:
$x_{1} = 7$ и $x_{2} = -7$.

2. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала:
$(-\infty; -7)$, $(-7; 7)$ и $(7; +\infty)$.

3. Определим знак выражения $x^{2} - 49$ на каждом интервале.
Графиком функции $y = x^{2} - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^{2}$ положителен).
Это значит, что функция принимает положительные значения ($> 0$) на крайних интервалах и отрицательные значения ($< 0$) на среднем интервале.

4. Проверим это, подставив любое число из интервалов:
— Из интервала $(7; +\infty)$ возьмём $x = 10$: $10^{2} - 49 = 100 - 49 = 51 > 0$. Знак «плюс».
— Из интервала $(-7; 7)$ возьмём $x = 0$: $0^{2} - 49 = -49 < 0$. Знак «минус».
— Из интервала $(-\infty; -7)$ возьмём $x = -10$: $(-10)^{2} - 49 = 100 - 49 = 51 > 0$. Знак «плюс».

5. Нам нужно найти те промежутки, где выражение больше нуля ($> 0$).
Это интервалы $(-\infty; -7)$ и $(7; +\infty)$.

Данное решение соответствует варианту № 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ