Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения квадратного неравенства $x^{2} - 25 > 0$ воспользуемся методом интервалов.

Шаг 1. Найдём корни соответствующего уравнения.
Приравняем левую часть неравенства к нулю: $x^{2} - 25 = 0$.
Разложим выражение на множители, используя формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 5)(x + 5) = 0$.
Отсюда получаем два корня:
$x_{1} = 5$ и $x_{2} = -5$.

Шаг 2. Определим поведение функции.
Выражение $f(x) = x^{2} - 25$ представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола. Так как коэффициент перед $x^{2}$ положителен ($1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Шаг 3. Расставим знаки на числовой прямой.
Отметим точки $-5$ и $5$ на числовой оси. Точки будут «выколотыми» (пустыми), так как неравенство строгое ($>$).
Эти точки разбивают прямую на три интервала:
1) На интервале $(-\infty; -5)$ функция принимает положительные значения ($+$).
2) На интервале $(-5; 5)$ функция принимает отрицательные значения ($-$).
3) На интервале $(5; +\infty)$ функция принимает положительные значения ($+$).

Шаг 4. Выберем нужные промежутки.
Так как в неравенстве стоит знак $>$, нам нужны интервалы, где функция принимает положительные значения (со знаком «плюс»).
Это промежутки $(-\infty; -5)$ и $(5; +\infty)$.

Объединяя их, получаем: $(-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$. Данный результат соответствует варианту № 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ