Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Рассмотрим рисунок. На координатной прямой изображено решение неравенства в виде двух промежутков: $x \leq 0$ и $x \geq 4$. Точки $0$ и $4$ закрашены, значит, неравенство нестрогое.

Шаг 1. Определим корни соответствующего уравнения.
Границами заштрихованных областей являются числа $0$ и $4$. Это значит, что если мы приравняем левую часть искомого неравенства к нулю, то корнями уравнения должны быть $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Проверим предложенные варианты:
1) Для $x^{2} - 16 = 0$ корни: $x = \pm 4$. Не подходит.
2) Для $x^{2} - 4x = 0$ вынесем $x$ за скобки: $x(x - 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Подходит по корням.
3) Для $x^{2} - 4x = 0$ корни те же: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Подходит по корням.
4) Для $x^{2} - 16 = 0$ корни: $x = \pm 4$. Не подходит.

Шаг 2. Выберем верный знак неравенства.
Мы выбираем между вариантами 2 и 3. Рассмотрим функцию $f(x) = x^{2} - 4x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^{2}$ положителен, $1 > 0$).

Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $4$.
- На промежутке между корнями $(0; 4)$ парабола находится ниже оси $Ox$, то есть $x^{2} - 4x < 0$.
- На промежутках по краям $(-\infty; 0]$ и $[4; +\infty)$ парабола находится выше оси $Ox$, то есть $x^{2} - 4x \geq 0$.

Шаг 3. Сопоставим с рисунком.
На рисунке заштрихованы именно "края": значения меньше $0$ и больше $4$. Это соответствует условию $x^{2} - 4x \geq 0$.

Следовательно, рисунку соответствует неравенство под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ