Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

1) Проанализируем рисунок. На координатной прямой изображён интервал между числами $0$ и $1$. Точки закрашены, значит, неравенство нестрогое. Решением является отрезок $[0; 1]$. Это означает, что корни соответствующего квадратного уравнения должны быть равны $0$ и $1$.

2) Проверим корни уравнений для каждого варианта ответа:
В вариантах 1 и 3 дано выражение $x^{2} - 1$. Приравняем его к нулю: $x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Корни $-1$ и $1$ не совпадают с числами на рисунке. Эти варианты нам не подходят.
В вариантах 2 и 4 дано выражение $x^{2} - x$. Приравняем его к нулю: $x^{2} - x = 0$. Вынесем общий множитель за скобки: $x(x - 1) = 0$. Отсюда $x = 0$ или $x = 1$. Эти корни соответствуют точкам на рисунке.

3) Теперь определим знак неравенства для функции $f(x) = x^{2} - x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^{2}$ положителен).
Схематично парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $1$. Часть параболы, которая находится ниже оси $Ox$ (где значения функции меньше или равны нулю), как раз расположена на промежутке $[0; 1]$.
Следовательно, заштрихованная область соответствует неравенству $x^{2} - x \leq 0$.

4) Проверим методом интервалов для варианта № 4: $x(x - 1) \leq 0$.
Возьмём точку из промежутка $(0; 1)$, например $x = 0,5$:
$0,5 \cdot (0,5 - 1) = 0,5 \cdot (-0,5) = -0,25$.
Так как $-0,25 \leq 0$, данный промежуток является решением неравенства № 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ