Задание №19 — Геометрия
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Правильный ответ
3
Пояснение
Решение.
Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность или ложность.
1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
Это утверждение неверно. В равнобедренном треугольнике только та биссектриса, которая проведена к основанию, является одновременно медианой и высотой. Биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, в общем случае не являются высотами (это происходит только в частном случае — в равностороннем треугольнике).
2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Это утверждение неверно. Согласно свойствам четырёхугольников, параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Ромбом же является такой параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны или все стороны равны.
3) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Это утверждение верно. Частным случаем прямоугольника является квадрат (у него все углы прямые, как у прямоугольника, и все стороны равны). У квадрата диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Следовательно, такой прямоугольник (квадрат) действительно существует.
Таким образом, истинным является только третье утверждение.
Ответ: 3
Источник: ФИПИ