Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $25x^2 > 49$, выполним следующие шаги:

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы справа остался ноль:
$25x^2 - 49 > 0$

2. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Заметим, что $25x^2 = (5x)^2$, а $49 = 7^2$:
$(5x - 7)(5x + 7) > 0$

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(5x - 7)(5x + 7) = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$5x - 7 = 0 \implies 5x = 7 \implies x = \frac{7}{5} = 1,4$
$5x + 7 = 0 \implies 5x = -7 \implies x = -\frac{7}{5} = -1,4$

4. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1,4)$, $(-1,4; 1,4)$ и $(1,4; +\infty)$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($25 > 0$), ветви параболы $y = 25x^2 - 49$ направлены вверх. Это значит, что функция принимает положительные значения на крайних промежутках и отрицательные — на среднем.

5. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше нуля ($> 0$). Это соответствует промежуткам:
$x < -1,4$ или $x > 1,4$

Данное решение соответствует варианту № 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ