Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) Сумма углов прямоугольного треугольника равна $90$ градусам.
Это утверждение неверно. Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех внутренних углов любого треугольника (в том числе и прямоугольного) всегда равна $180^\circ$. У прямоугольного треугольника только сумма двух острых углов равна $90^\circ$.

2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Это утверждение неверно. По свойству подобных фигур, отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$). Например, если стороны треугольника увеличить в $2$ раза, то его площадь увеличится в $4$ раза.

3) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
Это утверждение верно. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. У прямоугольника все углы прямые (равны $90^\circ$), поэтому сумма любых двух противоположных углов составляет $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, вокруг любого прямоугольника можно описать окружность (или, что то же самое, любой прямоугольник можно вписать в окружность).

Таким образом, истинным является утверждение под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ