Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $25x^2 > 49$, выполним следующие шаги:

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы справа остался ноль:
$25x^2 - 49 > 0$

2. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Заметим, что $25x^2 = (5x)^2$, а $49 = 7^2$. Получаем:
$(5x - 7)(5x + 7) > 0$

3. Найдём корни уравнения $(5x - 7)(5x + 7) = 0$, чтобы определить границы интервалов:
$5x - 7 = 0 \implies 5x = 7 \implies x = 1,4$
$5x + 7 = 0 \implies 5x = -7 \implies x = -1,4$

4. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1,4)$, $(-1,4; 1,4)$ и $(1,4; +\infty)$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($25 > 0$), графиком функции $y = 25x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх.
Следовательно, функция принимает положительные значения (условие $> 0$) на крайних промежутках.

5. Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов:
$(-\infty; -1,4) \cup (1,4; +\infty)$

Данное решение соответствует варианту № 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ