Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения квадратного неравенства $8x - x^{2} > 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём корни соответствующего уравнения.
Приравняем левую часть неравенства к нулю:
$8x - x^{2} = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(8 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $8 - x = 0$.
Отсюда получаем два корня: $x_{1} = 0$ и $x_{2} = 8$.

2. Определим знаки на интервалах.
Рассмотрим функцию $f(x) = 8x - x^{2}$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^{2}$ отрицательный: $-1$).
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $8$. Поскольку ветви направлены вниз, функция принимает положительные значения ($> 0$) на интервале между корнями.

3. Выберем подходящий рисунок.
Нам нужно найти область, где $8x - x^{2} > 0$. Это интервал от $0$ до $8$.
На рисунках точки $0$ и $8$ изображены выколотыми (пустыми внутри), так как неравенство строгое ($>$).
Заштрихованная область между числами $0$ и $8$ соответствует рисунку под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ