Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Рассмотрим рисунок. На координатной прямой изображён интервал между числами $0$ и $5$. Точки закрашены, значит, границы включены в решение. Это соответствует промежутку $x \in [0; 5]$.

Найдём корни соответствующих уравнений для каждого из предложенных неравенств, чтобы определить, какие из них имеют корни $0$ и $5$.

1) Для неравенств 1 и 3 рассмотрим уравнение $x^{2} - 5x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки: $x(x - 5) = 0$.
Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Эти корни совпадают с числами на рисунке.

2) Для неравенств 2 и 4 рассмотрим уравнение $x^{2} - 25 = 0$.
$x^{2} = 25$, следовательно, $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.
Эти корни не подходят к нашему рисунку.

Теперь определим знак неравенства для функции $f(x) = x^{2} - 5x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ положителен).
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $5$. Значения функции меньше или равны нулю ($f(x) \leq 0$) находятся между корнями, то есть на отрезке $[0; 5]$.
Значения функции больше или равны нулю ($f(x) \geq 0$) находятся по краям: $x \leq 0$ или $x \geq 5$.

На рисунке заштрихована область между корнями, что соответствует условию $x^{2} - 5x \leq 0$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ