Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения неравенства $81 x^{2} > 64$ воспользуемся методом интервалов или разложением на множители.

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:
$81 x^{2} - 64 > 0$.

2. Заметим, что в левой части находится разность квадратов, так как $81 x^{2} = (9x)^{2}$ и $64 = 8^{2}$. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(9x - 8)(9x + 8) > 0$.

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(9x - 8)(9x + 8) = 0$:
$9x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{9}$;
$9x + 8 = 0 \Rightarrow x = -\frac{8}{9}$.

4. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут «выколотыми» (пустыми внутри). Эти точки разделяют прямую на три интервала:
— от $-\infty$ до $-\frac{8}{9}$;
— от $-\frac{8}{9}$ до $\frac{8}{9}$;
— от $\frac{8}{9}$ до $+\infty$.

5. Определим знаки выражения $f(x) = 81 x^{2} - 64$ на каждом интервале. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^{2}$ равен $81 > 0$). Значит, функция принимает положительные значения на крайних промежутках и отрицательные — на среднем.
Нам нужно решение неравенства $> 0$, следовательно, подходят промежутки:
$x < -\frac{8}{9}$ и $x > \frac{8}{9}$.

6. На рисунках это соответствует заштрихованным областям слева от $-\frac{8}{9}$ и справа от $\frac{8}{9}$. Данная геометрическая интерпретация представлена на рисунке под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ