Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Разберём пошагово решение данной задачи, анализируя рисунок и предложенные варианты неравенств.

1. Анализ рисунка:
На рисунке изображена числовая прямая, на которой отмечены точки $-8$ и $8$. Заштрихованы промежутки по краям: от минус бесконечности до $-8$ и от $8$ до плюс бесконечности. Это означает, что решением является объединение промежутков $(-\infty; -8] \cup [8; +\infty)$. Точки закрашены, значит, неравенство нестрогое (содержит знаки $\geq$ или $\leq$).

2. Анализ вариантов с $x^{2} + 64$:
Рассмотрим неравенства 1) и 4). Выражение $x^{2} + 64$ всегда положительно, так как квадрат любого числа $x^{2} \geq 0$, а при прибавлении $64$ результат всегда будет не меньше $64$.
- Неравенство $x^{2} + 64 \geq 0$ верно при любом $x$ (решение — вся числовая прямая).
- Неравенство $x^{2} + 64 \leq 0$ не имеет решений.
Эти варианты нам не подходят.

3. Анализ вариантов с $x^{2} - 64$:
Найдём корни уравнения $x^{2} - 64 = 0$:
$x^{2} = 64$
$x_{1} = -8, x_{2} = 8$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -8]$, $[-8; 8]$ и $[8; +\infty)$.
Графиком функции $y = x^{2} - 64$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, функция принимает положительные значения ($\geq 0$) на крайних промежутках и отрицательные ($\leq 0$) на среднем промежутке.

4. Сопоставление с рисунком:
На рисунке заштрихованы именно крайние промежутки, где функция $x^{2} - 64$ принимает значения больше или равные нулю. Следовательно, рисунку соответствует неравенство:
$x^{2} - 64 \geq 0$.

Это соответствует варианту № 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ