Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

1) Проанализируем рисунок. На координатной прямой отмечены точки $-3$ и $3$. Штриховка расположена левее числа $-3$ и правее числа $3$. Это означает, что решением является объединение промежутков $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

2) Рассмотрим предложенные варианты неравенств. Заметим, что в вариантах 2 и 4 присутствует выражение $x^{2} + 9$. Так как квадрат любого числа — величина неотрицательная ($x^{2} \ge 0$), то выражение $x^{2} + 9$ всегда больше или равно 9.
Следовательно, неравенство $x^{2} + 9 > 0$ верно при любом $x$, а неравенство $x^{2} + 9 < 0$ не имеет решений. Эти варианты нам не подходят.

3) Остаются варианты 1 и 3 с выражением $x^{2} - 9$. Найдём корни соответствующего уравнения:
$x^{2} - 9 = 0$
$x^{2} = 9$
$x_{1} = -3$, $x_{2} = 3$.
Эти корни как раз соответствуют точкам на рисунке.

4) Решим неравенство $x^{2} - 9 > 0$ методом интервалов или с помощью графика параболы. Графиком функции $f(x) = x^{2} - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось $x$ в точках $-3$ и $3$.
Значения функции положительны ($> 0$) там, где парабола находится выше оси $x$, то есть на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(3; +\infty)$. Это в точности совпадает с рисунком.

5) Для проверки: неравенство $x^{2} - 9 < 0$ имело бы решение $(-3; 3)$, что соответствует внутренней части между корнями.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ