Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $x^{2} > 36$, воспользуемся методом интервалов.

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:
$x^{2} - 36 > 0$.

2. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 6)(x + 6) > 0$.

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 6) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$;
$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$.

4. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как знак неравенства строгий ($>$), точки будут «выколотыми» (пустыми внутри). Эти точки разделяют прямую на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 6)$ и $(6; +\infty)$.

5. Определим знаки выражения $(x - 6)(x + 6)$ на каждом интервале:
— На интервале $(6; +\infty)$ возьмём число $10$: $(10-6)(10+6) = 4 \cdot 16 = 64 > 0$. Ставим знак «плюс».
— На интервале $(-6; 6)$ возьмём число $0$: $(0-6)(0+6) = -6 \cdot 6 = -36 < 0$. Ставим знак «минус».
— На интервале $(-\infty; -6)$ возьмём число $-10$: $(-10-6)(-10+6) = -16 \cdot (-4) = 64 > 0$. Ставим знак «плюс».

6. Нам подходят интервалы, где выражение больше нуля (со знаком «плюс»). Это промежутки $x < -6$ и $x > 6$.

На рисунке 1 изображена числовая прямая, где заштрихованы именно эти области: левее $-6$ и правее $6$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ