Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения неравенства $25x^{2} > 49$ воспользуемся методом интервалов или разложением на множители.

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:
$25x^{2} - 49 > 0$.

2. Заметим, что в левой части находится разность квадратов, так как $25x^{2} = (5x)^{2}$ и $49 = 7^{2}$. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(5x - 7)(5x + 7) > 0$.

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(5x - 7)(5x + 7) = 0$:
$5x - 7 = 0 \Rightarrow 5x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{5} = 1,4$;
$5x + 7 = 0 \Rightarrow 5x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{5} = -1,4$.

4. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1,4)$, $(-1,4; 1,4)$ и $(1,4; +\infty)$. Так как знак неравенства строгий ($>$), точки на рисунке будут «выколотыми» (пустыми внутри).

5. Определим знаки выражения $25x^{2} - 49$ на каждом интервале:
— Если $x = 0$ (из интервала $(-1,4; 1,4)$), то $25 \cdot 0^{2} - 49 = -49 < 0$.
— Если $x = 2$ (из интервала $(1,4; +\infty)$), то $25 \cdot 4 - 49 = 51 > 0$.
— Если $x = -2$ (из интервала $(-\infty; -1,4)$), то $25 \cdot (-2)^{2} - 49 = 51 > 0$.

6. Нам подходят интервалы, где выражение больше нуля: $x < -1,4$ и $x > 1,4$. На рисунке это соответствует заштрихованным «краям» числовой прямой.

Данное решение изображено на рисунке под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ