Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы найти решение неравенства $8x - x^{2} < 0$, воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём корни соответствующего уравнения.
Приравняем левую часть неравенства к нулю:
$8x - x^{2} = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(8 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $8 - x = 0$.
Отсюда получаем два корня: $x_{1} = 0$ и $x_{2} = 8$.

2. Определим знаки на интервалах.
Рассмотрим функцию $f(x) = 8x - x^{2}$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^{2}$ отрицательный: $-1$).
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $8$. Поскольку ветви направлены вниз, функция принимает положительные значения между корнями и отрицательные значения по краям от корней.

3. Выберем нужные промежутки.
Нам нужно решить неравенство $8x - x^{2} < 0$, то есть найти промежутки, где функция принимает отрицательные значения. Это происходит при:
$x < 0$ и $x > 8$.
На числовой прямой это соответствует заштрихованным областям слева от $0$ и справа от $8$. Точки $0$ и $8$ будут "выколотыми" (пустыми внутри), так как неравенство строгое.

Данное решение изображено на рисунке под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ