Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения неравенства $x - x^{2} \geq 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём корни уравнения.
Приравняем левую часть неравенства к нулю:
$x - x^{2} = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(1 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $1 - x = 0$, откуда $x = 1$.
Таким образом, мы получили две критические точки: $0$ и $1$.

2. Определим знаки на интервалах.
Рассмотрим функцию $f(x) = x - x^{2}$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент перед $x^{2}$ отрицательный: $-1$).
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $1$. Поскольку ветви направлены вниз, значения функции будут положительными (выше оси $Ox$) на промежутке между корнями и отрицательными по краям от них.

3. Выберем нужный промежуток.
В неравенстве стоит знак $\geq 0$, значит, нам нужен промежуток, где значения функции положительны или равны нулю. Это отрезок между корнями: $[0; 1]$.
На числовой прямой этому решению соответствует заштрихованная область от $0$ до $1$ с закрашенными точками (так как неравенство нестрогое).

4. Сопоставим с рисунками.
На рисунке 4 изображён именно этот интервал: штриховка находится между точками $0$ и $1$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ