Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Рассмотрим рисунок. На координатной прямой изображён интервал $(0; 7)$. Это означает, что решением неравенства являются все числа, находящиеся между корнями $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

1) Сначала найдём корни соответствующих квадратных уравнений, чтобы понять, какие из них подходят под наши точки $0$ и $7$:
— Для вариантов 1 и 3: $x^2 - 49 = 0 \Rightarrow x^2 = 49 \Rightarrow x = \pm 7$. Эти корни нам не подходят.
— Для вариантов 2 и 4: $x^2 - 7x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 7) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 7$. Эти корни совпадают с точками на рисунке.

2) Теперь определим знак неравенства. Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 7x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^2$ положителен, $a = 1 > 0$).

3) Парабола с ветвями вверх принимает отрицательные значения (лежит ниже оси $Ox$) между своими корнями и положительные значения — снаружи корней.
На рисунке заштрихована область именно между корнями $0$ и $7$. Следовательно, нам нужно неравенство со знаком "меньше":
$x^2 - 7x < 0$.

Это соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ