Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения неравенства $6x - x^{2} < 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём корни уравнения.
Приравняем левую часть неравенства к нулю:
$6x - x^{2} = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(6 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_{1} = 0$ или $6 - x = 0 \Rightarrow x_{2} = 6$.

2. Определим знаки на интервалах.
Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<$), точки $0$ и $6$ будут выколотыми (пустыми внутри). Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 6)$ и $(6; +\infty)$.
Рассмотрим функцию $f(x) = 6x - x^{2}$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^{2}$ отрицательный, $a = -1$).
Это значит, что между корнями (на интервале $(0; 6)$) функция принимает положительные значения, а снаружи корней — отрицательные.

3. Выберем нужные промежутки.
Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля ($< 0$).
Это соответствует интервалам: $x < 0$ и $x > 6$.
На рисунках такие области обозначаются штриховкой слева от $0$ и справа от $6$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что это соответствует рисунку № 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ