Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Рассмотрим рисунок. На координатной прямой изображено решение неравенства в виде двух промежутков: $(-\infty; 0)$ и $(8; +\infty)$. Точки $0$ и $8$ отмечены выколотыми кружками, что соответствует строгому знаку неравенства.

Эти промежутки являются решениями квадратного неравенства, корни соответствующего квадратного уравнения которого равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Проверим предложенные варианты:

1) $x^2 - 64 < 0$.
Найдём корни уравнения $x^2 - 64 = 0$:
$x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8$.
Корни ($-8$ и $8$) не совпадают с числами на рисунке. Вариант не подходит.

2) $x^2 - 64 > 0$.
Корни те же: $-8$ и $8$. Вариант не подходит.

3) $x^2 - 8x < 0$.
Найдём корни уравнения $x^2 - 8x = 0$:
Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 8) = 0$.
Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 8$.
Корни совпадают с рисунком. Однако при $x^2 - 8x < 0$ решением является внутренний промежуток между корнями, то есть $(0; 8)$. На рисунке же заштрихованы внешние промежутки. Вариант не подходит.

4) $x^2 - 8x > 0$.
Корни уравнения $x^2 - 8x = 0$ также равны $0$ и $8$.
Графиком функции $y = x^2 - 8x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^2$ положителен). Значения функции больше нуля ($> 0$) находятся слева от меньшего корня и справа от большего корня.
Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; 0) \cup (8; +\infty)$, что полностью соответствует рисунку.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ