Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения квадратного неравенства $6x - x^{2} \leq 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём корни соответствующего уравнения:
Приравняем левую часть неравенства к нулю:
$6x - x^{2} = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(6 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $6 - x = 0$, откуда $x_2 = 6$.

2. Определим направление ветвей параболы:
Рассмотрим функцию $f(x) = -x^{2} + 6x$. Коэффициент при $x^{2}$ равен $-1$. Так как он отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

3. Расставим знаки на числовой прямой:
Отметим полученные точки $0$ и $6$ на числовой оси. Точки будут закрашенными, так как неравенство нестрогое ($\leq$).
Парабола, ветви которой направлены вниз, пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $6$. Это значит, что:
— на промежутке $(0; 6)$ значения функции положительны (график выше оси);
— на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(6; +\infty)$ значения функции отрицательны (график ниже оси).

4. Выберем нужные интервалы:
По условию нам нужно найти значения $x$, при которых $6x - x^{2} \leq 0$ (то есть там, где стоит знак «минус» или значения равны нулю).
Этому условию соответствуют промежутки: $x \leq 0$ и $x \geq 6$.

5. Сопоставим с рисунками:
Данному решению соответствует рисунок под номером 4, где заштрихованы области слева от $0$ и справа от $6$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ