Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $x^{2} \leq 64$, воспользуемся методом интервалов или графическим методом.

1. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения:
$x^{2} = 64$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два значения:
$x_{1} = 8$ и $x_{2} = -8$.

2. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -8]$, $[-8; 8]$ и $[8; +\infty)$. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), точки $-8$ и $8$ будут закрашенными (включены в решение).

3. Рассмотрим функцию $f(x) = x^{2} - 64$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ положителен).
Неравенство $x^{2} - 64 \leq 0$ означает, что нам нужно найти те значения $x$, при которых график параболы лежит ниже оси $Ox$ или пересекает её.

4. Парабола находится ниже оси $Ox$ на промежутке между своими корнями. Следовательно, решением неравенства является отрезок:
$-8 \leq x \leq 8$, что записывается как $x \in [-8; 8]$.

5. Посмотрим на предложенные рисунки:
- На рисунке 1 заштрихована область $x \leq 8$.
- На рисунке 2 заштрихованы "хвосты" (внешние области) $x \leq -8$ и $x \geq 8$.
- На рисунке 3 заштрихована область $x \leq -8$.
- На рисунке 4 заштрихована область между числами $-8$ и $8$, что соответствует нашему результату.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ