Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Проанализируем рисунок. На координатной прямой отмечен интервал между числами $-8$ и $8$. Точки выколоты, что соответствует строгому знаку неравенства ($<$ или $>$). Заштрихованная область находится внутри этого промежутка, то есть решением является $-8 < x < 8$.

Рассмотрим предложенные варианты неравенств:

1) $x^{2} + 64 > 0$
Выражение $x^{2}$ всегда неотрицательно ($\ge 0$), поэтому сумма $x^{2} + 64$ всегда больше нуля для любого значения $x$. Решением этого неравенства является вся числовая прямая: $(-\infty; +\infty)$. Это не совпадает с рисунком.

2) $x^{2} - 64 > 0$
Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(x - 8)(x + 8) > 0$.
Корни соответствующего уравнения: $x = 8$ и $x = -8$.
Графиком функции $y = x^{2} - 64$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны ($> 0$) на внешних промежутках: $(-\infty; -8) \cup (8; +\infty)$. Это не совпадает с рисунком.

3) $x^{2} - 64 < 0$
Аналогично разложим на множители: $(x - 8)(x + 8) < 0$.
Метод интервалов или анализ параболы показывает, что значения функции $y = x^{2} - 64$ отрицательны ($< 0$) там, где график лежит ниже оси $Ox$. Это происходит именно на внутреннем промежутке между корнями: $(-8; 8)$. Данное решение полностью соответствует рисунку.

4) $x^{2} + 64 < 0$
Как мы уже выяснили, $x^{2} + 64$ всегда больше или равно $64$. Следовательно, оно никогда не может быть меньше нуля. Данное неравенство не имеет решений. Это не совпадает с рисунком.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ