Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения квадратного неравенства $x^{2} - 49 \geq 0$ воспользуемся методом интервалов.

Шаг 1. Разложим левую часть на множители.
Выражение $x^{2} - 49$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$x^{2} - 7^{2} \geq 0$
$(x - 7)(x + 7) \geq 0$

Шаг 2. Найдем корни соответствующего уравнения.
Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение меняет знак:
$(x - 7)(x + 7) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_{1} = 7$ и $x_{2} = -7$

Шаг 3. Определим знаки на числовой прямой.
Отметим полученные точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\geq$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают ось на три интервала:
1) На интервале $(7; +\infty)$ возьмем число $10$: $(10-7)(10+7) = 3 \cdot 17 = 51 > 0$. Знак «+».
2) На интервале $(-7; 7)$ возьмем число $0$: $(0-7)(0+7) = -7 \cdot 7 = -49 < 0$. Знак «−».
3) На интервале $(-\infty; -7)$ возьмем число $-10$: $(-10-7)(-10+7) = -17 \cdot (-3) = 51 > 0$. Знак «+».

Шаг 4. Выберем нужные промежутки.
По условию неравенства нам нужны значения, которые больше или равны нулю ($\geq 0$). Это интервалы со знаком «+» и сами точки $-7$ и $7$.
Получаем объединение промежутков: $(-\infty; -7] \cup [7; +\infty)$.

Данный результат соответствует варианту № 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ