Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Проанализируем рисунок. На координатной прямой изображено решение неравенства в виде двух лучей: $x \leq 0$ и $x \geq 1$. Точки $0$ и $1$ закрашены, значит, неравенство нестрогое.

1) Сначала определим корни соответствующих квадратных уравнений, чтобы понять, какие точки являются границами интервалов:
Для вариантов 1 и 3: $x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = 1$ или $x = -1$. Эти варианты не подходят, так как на рисунке границы — точки $0$ и $1$.
Для вариантов 2 и 4: $x^{2} - x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 1) = 0$. Отсюда корни: $x = 0$ и $x = 1$. Эти точки совпадают с точками на рисунке.

2) Теперь выберем верный знак неравенства для функции $f(x) = x^{2} - x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^{2}$ положителен).
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $1$. Значения функции положительны ($\geq 0$) на промежутках «снаружи» корней и отрицательны ($\leq 0$) «между» корнями.

3) На рисунке заштрихованы области $x \leq 0$ и $x \geq 1$. Это внешние промежутки, где функция принимает неотрицательные значения. Следовательно, изображено решение неравенства $x^{2} - x \geq 0$.

Проверим методом интервалов: возьмём число $2$ из правого заштрихованного промежутка. Подставим в неравенство 2: $2^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$. Так как $2 \geq 0$, неравенство выполняется. Возьмём число $0,5$ из незаштрихованного промежутка: $0,5^{2} - 0,5 = 0,25 - 0,5 = -0,25$. Так как $-0,25 < 0$, этот промежуток не является решением для знака $\geq 0$, что соответствует рисунку.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ