Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы найти решение неравенства $7x - x^{2} < 0$, воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём корни соответствующего уравнения:
Приравняем левую часть к нулю: $7x - x^{2} = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(7 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $7 - x = 0$, откуда $x = 7$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

2. Определим знаки на интервалах:
Рассмотрим функцию $f(x) = 7x - x^{2}$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^{2}$ отрицательный: $-1$).
Это значит, что между корнями (на интервале от $0$ до $7$) функция принимает положительные значения, а по краям от корней — отрицательные.

3. Выберем нужные промежутки:
По условию задачи нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля ($< 0$).
Следовательно, нам подходят интервалы: $x < 0$ и $x > 7$.
На числовой прямой это изображается в виде двух заштрихованных "хвостов", уходящих влево от $0$ и вправо от $7$. Точки $0$ и $7$ при этом должны быть "выколотыми" (пустыми внутри), так как неравенство строгое.

4. Сопоставим с рисунками:
Данному решению соответствует рисунок под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ