Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения неравенства $4x - x^{2} \leq 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения:
$4x - x^{2} = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(4 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $4 - x = 0$, откуда $x = 4$.
Таким образом, корни уравнения: $0$ и $4$.

2. Рассмотрим функцию $f(x) = 4x - x^{2}$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^{2}$ отрицательный ($a = -1$), ветви параболы направлены вниз.

3. Отметим корни на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\leq$), точки будут закрашенными. Парабола пересекает ось $x$ в точках $0$ и $4$. Поскольку ветви направлены вниз, функция принимает положительные значения между корнями и отрицательные значения по краям от корней:
— На промежутке $(-\infty; 0]$ значения функции $f(x) \leq 0$.
— На промежутке $[0; 4]$ значения функции $f(x) \geq 0$.
— На промежутке $[4; +\infty)$ значения функции $f(x) \leq 0$.

4. Нам нужно найти те значения $x$, при которых $4x - x^{2} \leq 0$. Это соответствует промежуткам $(-\infty; 0]$ и $[4; +\infty)$.

5. Посмотрим на предложенные рисунки:
— На рисунке 1 заштрихованы области слева от $0$ и справа от $4$. Это в точности соответствует нашему решению.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ