Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Проанализируем рисунок. На координатной прямой отмечены точки $-5$ и $5$. Штриховка расположена левее числа $-5$ и правее числа $5$. Это означает, что решением является объединение промежутков $(-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.

Рассмотрим предложенные варианты неравенств:

1) $x^{2} - 25 > 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 5)(x + 5) > 0$.
Корнями соответствующего уравнения $(x - 5)(x + 5) = 0$ являются числа $x = 5$ и $x = -5$.
Графиком функции $y = x^{2} - 25$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось $Ox$ в точках $-5$ и $5$. Значения функции положительны ($> 0$) на промежутках «за корнями», то есть при $x < -5$ и $x > 5$. Это в точности соответствует рисунку.

2) $x^{2} - 25 < 0$
Аналогично первому пункту, корнями будут $-5$ и $5$, но знаком «меньше» выделяется внутренняя часть интервала: $(-5; 5)$. Это не подходит.

3) $x^{2} + 25 < 0$
Выражение $x^{2} + 25$ всегда больше или равно $25$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Следовательно, это неравенство не имеет решений.

4) $x^{2} + 25 > 0$
Так как $x^{2} \ge 0$, то $x^{2} + 25$ всегда больше нуля для любого значения $x$. Решением является вся числовая прямая.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ