Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения квадратного неравенства $x^{2} - 64 \geq 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения:
$x^{2} - 64 = 0$
Перенесём число $64$ в правую часть уравнения:
$x^{2} = 64$
Отсюда находим два корня:
$x_{1} = 8$
$x_{2} = -8$

2. Эти числа разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 8)$ и $(8; +\infty)$. Так как неравенство нестрогое ($\geq$), точки $-8$ и $8$ будут закрашенными (входят в решение).

3. Определим знаки выражения $x^{2} - 64$ на каждом интервале. Графиком функции $y = x^{2} - 64$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^{2}$ положителен). Это значит, что функция принимает положительные значения на крайних промежутках и отрицательные — на среднем.

4. Расставим знаки:
— На промежутке $(-\infty; -8]$ выражение $\geq 0$.
— На промежутке $[-8; 8]$ выражение $\leq 0$.
— На промежутке $[8; +\infty)$ выражение $\geq 0$.

5. Нам нужно найти те значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Этому условию соответствуют промежутки $(-\infty; -8]$ и $[8; +\infty)$.

Объединяя их, получаем: $(-\infty; -8] \cup [8; +\infty)$. Данный результат соответствует варианту № 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ