Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения квадратного неравенства $5x - x^{2} \geq 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём корни соответствующего уравнения:
Приравняем левую часть к нулю: $5x - x^{2} = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_{1} = 0$ или $5 - x = 0$, откуда $x_{2} = 5$.

2. Определим направление ветвей параболы:
Функция $f(x) = -x^{2} + 5x$ является квадратичной. Коэффициент перед $x^{2}$ равен $-1$. Так как он отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

3. Изобразим решение на координатной прямой:
Отметим точки $0$ и $5$ закрашенными кружками (так как неравенство нестрогое, $\geq$). Парабола, проходящая через эти точки и направленная ветвями вниз, находится выше оси $Ox$ (то есть принимает положительные значения) на промежутке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[0; 5]$.
На предложенных рисунках этому решению соответствует вариант № 2, где штриховка расположена между точками $0$ и $5$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ