Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения квадратного неравенства $7x - x^{2} > 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения. Для этого приравняем левую часть к нулю:
$7x - x^{2} = 0$.

2. Разложим левую часть на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(7 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $7 - x = 0$, откуда $x = 7$.
Таким образом, мы получили две критические точки: $0$ и $7$.

3. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (знак $>$), точки будут «выколотыми» (пустыми внутри). Эти точки разделяют прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 7)$ и $(7; +\infty)$.

4. Определим знак выражения $7x - x^{2}$ на каждом интервале. Графиком функции $y = -x^{2} + 7x$ является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^{2}$ отрицательный: $a = -1$).
Это значит, что между корнями функция принимает положительные значения, а снаружи от корней — отрицательные.

5. Проверим это, подставив число из среднего интервала $(0; 7)$, например, $x = 1$:
$7 \cdot 1 - 1^{2} = 7 - 1 = 6$.
Так как $6 > 0$, интервал $(0; 7)$ является решением неравенства.

6. На рисунках это решение соответствует заштрихованному промежутку между точками $0$ и $7$. Этот вариант изображён на рисунке под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ