Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Проанализируем рисунок. На координатной прямой отмечен интервал между числами $-6$ и $6$. Точки выколоты, что соответствует строгому знаку неравенства. Штриховка находится внутри этого промежутка, то есть решением является множество $x \in (-6; 6)$.

Рассмотрим предложенные варианты неравенств:

1) $x^{2} - 36 > 0$.
Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(x - 6)(x + 6) > 0$.
Корни уравнения $x^{2} - 36 = 0$ — это $x = 6$ и $x = -6$.
Графиком функции $y = x^{2} - 36$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции больше нуля (положительны) на промежутках «по бокам» от корней: $(-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$. Это не совпадает с рисунком.

2) $x^{2} + 36 > 0$.
Выражение $x^{2}$ всегда неотрицательно ($\ge 0$), поэтому сумма $x^{2} + 36$ всегда больше или равна $36$. Следовательно, это неравенство верно при любом значении $x$. Решение: $(-\infty; +\infty)$. Это не совпадает с рисунком.

3) $x^{2} - 36 < 0$.
Аналогично первому пункту, разложим на множители: $(x - 6)(x + 6) < 0$.
Парабола $y = x^{2} - 36$ принимает отрицательные значения (лежит ниже оси $Ox$) на промежутке между своими корнями. Таким образом, решением является интервал $(-6; 6)$. Это в точности соответствует рисунку.

4) $x^{2} + 36 < 0$.
Как мы уже выяснили, $x^{2} + 36$ всегда не меньше $36$. Оно никогда не может быть меньше нуля. Данное неравенство не имеет решений. Это не совпадает с рисунком.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ