Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
Согласно аксиомам и теоремам планиметрии, из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую, и притом только один. Это базовое построение в геометрии. Следовательно, данное утверждение верно.

2) Все углы ромба равны.
По определению ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Однако его углы равны только в том случае, если этот ромб является квадратом. В общем случае у ромба равны только противоположные углы, а соседние углы в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, данное утверждение неверно.

3) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.
Для того чтобы четырёхугольник был квадратом, недостаточно только равенства и перпендикулярности диагоналей. Необходимо также, чтобы диагонали в точке пересечения делились пополам (то есть фигура должна быть параллелограммом). Можно представить произвольный четырёхугольник (например, в форме «воздушного змея» или дельтоида), у которого диагонали будут равны и перпендикулярны, но он не будет являться квадратом. Следовательно, данное утверждение неверно.

Таким образом, истинным является только первое утверждение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ