Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) Две различные прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
Это утверждение является верным. Согласно признаку параллельности прямых, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, а значит, параллельны друг другу. Математически это записывается так: если $a \perp c$ и $b \perp c$, то $a \parallel b$.

2) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.
Это утверждение ложно. Для того чтобы четырёхугольник был квадратом, недостаточно только равенства и перпендикулярности диагоналей. Например, можно представить произвольный четырёхугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом и равны, но точка пересечения не делит их пополам. Такой фигурой может быть, например, равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями или произвольный "делитоид". У квадрата диагонали должны ещё и делиться точкой пересечения пополам.

3) Все углы ромба равны.
Это утверждение ложно. По определению ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Углы ромба равны между собой только в том случае, если этот ромб является квадратом. В общем же случае у ромба равны только противоположные углы, а соседние углы в сумме дают $180^{\circ}$.

Таким образом, истинным является только первое утверждение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ