Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $81 x^{2} \geq 16$, выполним следующие шаги:

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы справа остался ноль:
$81 x^{2} - 16 \geq 0$.

2. Заметим, что в левой части находится разность квадратов, так как $81 x^{2} = (9x)^{2}$ и $16 = 4^{2}$. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(9x - 4)(9x + 4) \geq 0$.

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(9x - 4)(9x + 4) = 0$. Для этого приравняем каждую скобку к нулю:
$9x - 4 = 0 \implies 9x = 4 \implies x = \frac{4}{9}$;
$9x + 4 = 0 \implies 9x = -4 \implies x = -\frac{4}{9}$.

4. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала. Так как это квадратичное неравенство и коэффициент перед $x^{2}$ положителен ($81 > 0$), графиком функции $y = 81x^{2} - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх.
Значения функции будут больше или равны нулю на внешних промежутках (слева от меньшего корня и справа от большего корня).

5. Таким образом, решением неравенства являются промежутки:
$x \leq -\frac{4}{9}$ и $x \geq \frac{4}{9}$.

На рисунках это соответствует заштрихованным областям от $-\infty$ до $-\frac{4}{9}$ и от $\frac{4}{9}$ до $+\infty$. Данное графическое решение представлено под номером 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ