Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения квадратного неравенства $x^{2} - 36 \leq 0$ воспользуемся методом интервалов.

Шаг 1. Найдём корни соответствующего уравнения.
Приравняем левую часть неравенства к нулю:
$x^{2} - 36 = 0$.
Перенесём число $36$ в правую часть уравнения:
$x^{2} = 36$.
Отсюда находим два корня:
$x_{1} = 6$,
$x_{2} = -6$.

Шаг 2. Разложим левую часть на множители.
Используя формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$, запишем неравенство в виде:
$(x - 6)(x + 6) \leq 0$.

Шаг 3. Определим знаки на числовой прямой.
Отметим на числовой оси точки $-6$ и $6$. Так как знак неравенства нестрогий ($\leq$), точки будут закрашенными (входят в решение). Эти точки разбивают прямую на три интервала:
1) На интервале $(-\infty; -6)$ выберем число $-10$: $(-10)^2 - 36 = 100 - 36 = 64 > 0$.
2) На интервале $(-6; 6)$ выберем число $0$: $0^2 - 36 = -36 < 0$.
3) На интервале $(6; +\infty)$ выберем число $10$: $10^2 - 36 = 100 - 36 = 64 > 0$.

Шаг 4. Выберем нужный промежуток.
Нам необходимо найти значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\leq 0$). Этому условию соответствует средний промежуток: от $-6$ до $6$ включительно.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-6; 6]$, что соответствует варианту № 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ